WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |

Пределы моего языка

суть пределы моего мира.

Людвиг Виттгенштейн Я считаю, что в настоящее время самым важным из методов, при помощи которых математик приносит своими работами наибольшую пользу исследователю природы, является систематическая классификация величин.

Джеймс Клерк Максвелл МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ НАТУРАЛЬНОЙ ФИЛОСОФИИ НЕЛИНЕЙНЫЙ И КВАНТОВЫЙ АСПЕКТЫ Классический трактат Ньютона «Математические начала натуральной философии», произведший переворот во всей математике, по существу является учебником грамматики разгаданного им «языка Природы», дифференциального исчисления, вместе с рассказом о том, что ему удалось у нее в результате услышать. Естественно, что он смог разобрать только смысл ее самых простых фраз. Последующие поколения математиков и физиков, постоянно совершенствуясь в этом языке, постигали все более и более сложные выражения, потом несложные четверостишия, поэмы... Соответственно, печатались расширенные и дополненные версии Ньютоновской грамматики. Но Природа очень и очень нелинейна по самой своей сути и, сверх того, квантова. Это привело сначала к весьма серьезным трудностям и недопониманию, а потом и к полному «дефолту». Так «куда ж нам плыть?» История математики знает две великие революции, каждая из которых полностью меняла её облик и внутреннее содержание. Их движущей силой была «невозможность жить по старому», т.е. невозможность адекватно интерпретировать актуальные проблемы точного естествознания на языке существующей математики. Первая из них связана с именем Декарта, вторая с именами Ньютона и Лейбница, хотя, конечно же, они отнюдь не сводятся только к этим великим именам. По словам Гиббса, математика — это язык, и сутью этих революций была глобальная перестройка всей математики на новой языковой основе. В самом деле, греческая математика разговаривает на языке Аристотелевой логики, которая должным образом формализует обычный, повседневный язык. В итоге первой революции, революции Декарта, языком всей математики стал язык коммутативной алгебры, вторая же заставила её говорить языком дифференциального исчисления.

Дифференциальное исчисление по самому своему происхождению является родным языком классической физики. Именно благодаря ему, Максвелл смог открыть «на кончике пера» основу современной цивилизации – электромагнитные волны, а Эйнштейн описать геометрию окружающей нас вселенной. С другой стороны, столетний опыт убеждает нас, что средствами стандартного дифференциального исчисления невозможно описать явления, относящиеся к квантовой физике. Физики 20го века искали необходимые им выразительные средства в современной им математике и, зачастую не находя того, что им нужно, пытались придумать свои. Дельтафункция и спиноры Дирака и континуальный интеграл Фейнмана являются замечательными образцами такого рода творчества.

Из того, что они нашли и придумали, образовался тот странный жаргон, в котором элементы дифференциального исчисления перемешиваются с гильбертовыми пространствами, теорией меры, операторнозначными обобщенными функциями и т.п. Более того, текущая мода требует, чтобы вся эта неоднородная смесь была бы ещё и надлежащим образом продеформирована. Хорошо понятное желание физика найти в реальном времени хоть какоенибудь описание новых, необычных с классической точки зрения квантовых явлений толкает его использовать всю ту математику, которую он может найти под руками. Но принцип «цель оправдывает средства» так же неудовлетворителен с этической и эстетической точек зрения в рассматриваемом контексте, как и в обычной жизни. Всякий раз, когда существующие математические средства не в состоянии описать новые физические явления, он неизбежно ведет в метафизический тупик.

Несостоятельность существующей математики перед лицом квантового вызова хорошо иллюстрируется тем, что до сих пор континуальный интеграл Фейнмана не нашел скольконибудь удовлетворительной математической формализации.

Математическое (не физическое!) уродство существующей квантовой теории недвусмысленно говорит о том, что её математические основания, т.е. математические основания натуральной философии в её квантовом аспекте, должны быть ещё установлены, а она сама сформулирована на новом, адекватном её сути, языке. Таким образом, 1. Необходимо отыскать родной математический язык квантовой теории, что является важнейшей задачей современной математики, абсолютно независимой от текущих проблем теоретической физики и господствующей в ней моде, и 2. Научиться говорить, думать и писать на нём, то есть придти к истинному пониманию квантовых явлений.



Сказанное отнюдь не является отвлеченной философической игрой ума, поскольку проблемы 1) и 2) поддаются точному анализу. Весьма схематически это выглядит следующим образом.

ПРИНЦИП СООТВЕТСТВИЯ БОРА Принцип соответствия Бора, согласно которому классическая физика является предельным случаем квантовой, оказался основным эвристическим приемом, приведшим к построению работающих математических моделей квантовых явлений. Точнее, в основе существующей квантовой теории лежат те или иные процедуры квантования, конкретизирующие принцип Бора. Ну а поскольку языком классической физики является дифференциальное исчисление, то оно, это старое доброе дифференциальное исчисление есть предельный, вырожденный случай более общей математической теории, которую можно было бы назвать квантовым дифференциальным исчислением. Выделенное курсивом высказывание представляет собой математический парафраз принципа соответствия Бора, – математический принцип Бора. Из него, в частности, следует, что математический язык квантовой физики должен быть естественным расширением дифференциального исчисления, а отнюдь не системой надстроек в виде тех или конструкций функционального анализа, некоммутативной алгебры и т.п.

Из математического принципа Бора можно извлечь несколько больше, чем просто факт существования «квантового» дифференциального исчисления. Действительно, обыкновенные дифференциальные уравнения классической механики описывают поведение особенностей решений уравнений квантовой механики. В теории поля мы должны исходить из уравнений классических полей, которые, если думать по аналогии, описывают поведение особенностей (сингулярностей) квантовых полей, но с самого начала уже являются уравнениями в частных производных.

Стало быть, допуская, что принцип соответствия Бора справедлив и в этом случае, мы с необходимостью приходим к выводу, что уравнения, описывающие квантовые поля, должны быть дифференциальными уравнениями нового, неизвестного ранее типа, который соотносится с уравнениями в частных производных так же, как уравнения в частных производных соотносятся с обыкновенными дифференциальными уравнениями. В более широком контексте это указывает на существование новой общей математической теории, предельным случаем которой является классическое дифференциальное исчисление. Мы назвали эту новую теорию вторичным, а не квантовым дифференциальным исчислением, вопервых потому, что сфера ее действия существенно шире квантовой физики, а вовторых, потому, что прилагательное «квантовый» основательно в последнее время затрепано его уместным, но более неуместным употреблением.

НАБЛЮДАЕМОСТЬ В КЛАССИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ, КОММУТАТИВНАЯ АЛГЕБРА И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Принцип Бора, предсказывая существование «квантового» дифференциального исчисления, не дает нам конструктивных средств для его построения. Для этого требуется более тонкие рассуждения.

Один из основных принципов современной физики утверждает: существует только то, что наблюдаемо. Фундаментальное различие между классической и квантовой физикой состоит в том, что наблюдения в классической физике независимы и не меняют состояния наблюдаемых объектов. Поэтому приступать к поискам вторичного дифференциального исчисления естественно проанализировать и формализовать с максимальной математической тщательностью классическую процедуру наблюдения в физике, тем более, что это в полном объеме еще не было сделано.

Схематически математическое содержание этой процедуры состоит в том, что физические приборы, собранные в воображаемой «классической» лаборатории, являются образующими некоторой коммутативной алгебры над полем действительных чисел, алгебры наблюдаемых. Всякое конкретное наблюдение является гомоморфизмом этой алгебры в алгебру действительных чисел. По этой причине наблюдения, то есть состояния интересующей нас физической системы, образует действительный спектр этой алгебры наблюдаемых. Таким образом, вся информация о структуре, динамике, etc, этой системы должна быть выражаемой в терминах алгебры наблюдаемых. Поскольку de facto мы знаем, что вся эта информация предоставляется нам дифференциальным исчислением, то мы приходим к выводу, что оно, при условии справедливости постулированных выше принципов, должно являться одним из аспектов коммутативной алгебры.





Оказывается, что это действительно так и полнокровное дифференциальное исчисление, а, стало быть, и теория дифференциальных уравнений, дифференциальная геометрия, дифференциальная топология и так далее, могут быть построены над произвольной коммутативной алгеброй. Логический скелет этой конструкции образован функторами дифференциального исчисления и не требует никаких гипотез топологического и другого характера. Достаточно арифметических операций.

Исчисление этих функторов оказывается необходимой предпосылкой для построения вторичного дифференциального исчисления. Сам же факт существования алгебраического дифференциального исчисления служит подтверждением постулированных выше принципов.

ГЕОМЕТРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДИФФЕОТОПЫ И ВТОРИЧНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Причины математической неудовлетворительности существующей квантовой теории, и, прежде всего, квантовой теории поля напрямую связаны с неразработанностью основ теории нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Это ясно из того, что квантовая теория поля исходит из теории классических полей, описываемых такими уравнениями. Парадоксально, что, несмотря на исключительную важность теории нелинейных дифференциальных уравнений для всего современного математического естествознания (механика сплошных сред и т.п.), не говоря о таких разделах математики, как, скажем, дифференциальная геометрия, математики прошлого века почти не обращали на нее никакого внимания. В результате, отдельные уравнения, важные с точки зрения приложений (та же механика сплошных сред), изучались узкими специалистами кустарными методами, порой очень непростыми и изощренными, но всегда слишком специальными. Общее настроение того времени выразил Курант, который писал: «Вопросы, связанные с дифференциальными уравнениями порядка выше первого настолько разнообразны, что построение единой теории не представляется возможным». Это представляет резкий контраст с восемнадцатым и девятнадцатым веками, когда самые выдающиеся математики уделяли много внимания нелинейным дифференциальным уравнениям и заложили фундамент этой теории. Этот славный период начинается с работ Гаспара Монжа и заканчивается фундаментальными работами Софуса Ли, между которыми видны блестящие имена Фробениуса, Дарбу, Якоби, Бэклунда и многих других. Надолго забытые результаты этих классиков были востребованы и частично возвращены к жизни специалистами в области теоретической и математической физики (а не «чистыми» математиками) только в семидесятые годы прошлого века, во время бума вокруг интегрируемых систем.

Некоторые новые конструкции теории интегрируемых систем, как оказалось, имеют общематематическую природу и не ограничиваются рамками классической теории Ли. В результате на базе синтеза классики, когомологической теории Спенсера и Гольдшмидта и общематематической части теории интегрируемых систем возникла современная геометрическая теория уравнений в частных производных.

Основными объектами новой теории являются диффеотопы, которые играют в теории дифференциальных уравнений такую же роль, как алгебраические многообразия в теории алгебраических уравнений. Они представляют собой особого рода многообразия, как правило, бесконечномерные, снабженные контактной структурой бесконечного порядка. Вторичное дифференциальное исчисление есть дифференциальное исчисление на диффеотопах, уважающее эту контактную структуру. Бесконечномерность диффеотопов делает невозможным построение дифференциального исчисления стандартными методами. Именно поэтому здесь неизбежно применение алгебраического подхода, о котором говорилось выше. Таким образом, вторичное дифференциальное исчисление запрограммировано на языке обычного, то есть первичного, дифференциального исчисления, учитывающего специфику диффеотопов. Именно поэтому оно называется вторичным.

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.