WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 24 |

И.Лакатос

Доказательства и опровержения.

Как доказываются теоремы.

(Пер.с англ. И.Н.Веселовского. М., Наука, 1967) Введение 2 1. Задача и догадка 6 2. Доказательство 7 3. Критика доказательства при помощи контрапримеров, являющихся локальными, но не глобальными 9 4. Критика догадки при помощи глобальных контрапримеров 12 а) Отбрасывание догадки. Метод сдачи 12 б) Отбрасывание контрапримера. Метод устранения монстров 13 в) Улучшение догадки методами устранения исключений. Частичные исключения. Стратегическое отступление или безопасная игра 20 г) Метод исправления монстров 25 д) Улучшение догадки методом включения лемм. Рожденная доказательством теорема против наивной догадки 27 5. Критика анализа доказательства контрапримерами, являющимися глобальными, но не локальными. Проблема строгости. 34 а) Устранение монстров в защиту теоремы 34 б) Скрытые леммы 35 в) Метод доказательств и опровержений 38 г) Доказательство против анализа доказательства. Релятивизация понятий теоремы и строгости в анализе доказательства Замечание. 6. Возвращение к критике доказательства при помощи контрапримеров, которые являются локальными, но не глобальными. Проблема содержания а) Возрастание содержания при более глубоких доказательствах б) Стремление к окончательным доказательствам и соответствующим необходимым и достаточным условиям в) Различные доказательства дают различные теоремы 7. Проблема пересмотра содержания а) «Наивность» наивной догадки б) Индукция как основа метода доказательств и опровержений в) Дедуктивная догадка против наивной догадки г) Увеличение содержания путем дедуктивного угадывания д) Логические контрапримеры против эвристических 8. Образование понятий а) Опровержение при помощи расширения понятий. Переоценка устранения монстров и пересмотр понятий ошибки и опровержения б) Рожденное доказательством понятие против наивного. Теоретическая классификация против наивной. в) Пересмотр логических и эвристических опровержений г) Противоположность между теоретическим и наивным расширением понятий, между непрерывным и критическим ростом д) Пределы увеличения содержания. Теоретические и наивные опровержения 9. Как критика может математическую истину превратить в логическую а) Бесконечное расширение понятий уничтожает смысл и истину б) Смягченное расширение понятий может превратить математическую истину в логическую Литература Введение В истории мысли часто случается, что при появлении но­вого мощного метода быстро выдвигается на авансцену изучение задач, которые этим методом могут быть реше­ны, в то время как все остальное игнорируется, даже забы­вается, а изучением его пренебрегают.

Именно это как будто произошло в нашем столетии в области философии математики в результате стремитель­ного развития метаматематики.

Предмет метаматематики состоит в такой абстракции математики, когда математические теории заменяются формальными системами, доказательства — некоторыми последовательностями хорошо известных формул, опреде­ления — «сокращенными выражениями», которые «тео­ретически необязательны, но зато типографически удобны» [1 См. Чёрч (Church) (1956), 1, стр. 76—77. Также у Пеано (1894), стр. 49 и у Уайтхеда — Рассела (1910—1913), 1, стр. 12. Это интегральная часть евклидовой программы, формулирован­ной Паскалем (1657—1658); ср. Лакатос (1962), стр. 158.].

Такая абстракция была придумана Гильбертом, чтобы получить мощную технику исследования задач методоло­гии математики. Вместе с тем имеются задачи, которые выпадают из рамок метаматематической абстракции. В их числе находятся все задачи, относящиеся к «содержатель­ной» математике и ее развитию, и все задачи, касающиеся ситуационной* [* Ситуационная логика — принадлежащий, повидимому, Попперу малораспространенный термин, обозначающий логику про­дуктивную, логику математического творчества.— Прим. пер.] логики и решения математических задач.

Школу математической философии, которая стремится отождествить математику с ее метаматематической абстракцией (а философию математики — с метаматемати­кой), я буду называть «формалистской» школой. Одна из самых отчетливых характеристик формалистской позиции находится у Карнапа (1937) [3 Подробности и аналогичные ссылки см. в библиографиче­ском списке в конце статьи.]. Карнап требует, чтобы (а) философия была заменена логикой науки..., но (в) «логи­ка науки представляет не что иное, как логический син­таксис языка науки»..., (с) «метаматематика же является синтаксисом математического языка» (стр. XIII и 9). Итак, философию математики следует заменить метамате­матикой.



Формализм отделяет историю математики от филосо­фии математики, так как согласно формалистскому по­ниманию математики, собственно говоря, истории матема­тики не существует. Любой формалист целиком будет со­гласен с замечанием Рассела, высказанным «романтиче­ски», но сделанным вполне серьезно, что «Законы мысли» Буля (Boole, 1854) были «первой книгой, когдалибо напи­санной по математике» [4 Б. Рассел (В. Russel, 1901). Эта работа была перепечатана как 5я глава труда Рассела (1918) под заглавием «Математика и метафизика». В издании «Пингвина» (1953) цитату можно найти на стр. 74. В предисловии к труду (1918) Рассел говорит об этой работе: «Тон этого очерка отчасти объясняется тем, что издатель просил меня сделать его „сколь возможно романтическим"».]. Формализм отрицает статус ма­тематики для большей части того, что обычно понималось как входящее в математику, и ничего не может сказать об ее «развитии». Ни один из «творческих» периодов и вряд ли один из «критических» периодов математических теорий может быть допущен в формалистическое небо, где мате­матические теории пребывают как серафимы, очищенные от всех пятен земной недостоверности. Однако формали­сты обычно оставляют открытым небольшой черный ход для падших ангелов; если для какихнибудь «смесей мате­матики и чегото другого» окажется возможным построить формальные системы, «которые в некотором смысле вклю­чают их», то они могут быть тогда допущены. При таких условиях Ньютону пришлось прождать четыре века, пока Пеано, Рассел и Куайн (Quine) помогли ему влезть на небо, формализовав его исчисление бесконечно малых. Дирак оказался более счастливым: Шварц спас его душу еще при его жизни. Может быть, мы должны упомянуть здесь парадоксальное затруднение метаматематика: по форма­листским или даже по дедуктивистским стандартам он не является честным математиком. Дьёдонне говорит об «абсо­лютной необходимости для каждого математика, который заботится об интеллектуальной че­стности (выделение мое.— Авт.), представлять свои рассуждения в аксиоматической форме» (1939, стр. 225).

При современном господстве формализма невольно впадаешь в искушение перефразировать Канта: история математики, лишившись руководства философии, сдела­лась слепой, тогда как философия математики, повернув­шись спиной к наиболее интригующим событиям истории математики, сделалась пустой.

«Формализм» представляет крепость логической пози­тивистской философии. Если следовать логическому пози­тивизму, то утверждение имеет смысл только, если оно является «тавтологическим» или эмпирическим. Так как содержательная математика не является ни «тавтологиче­ской», ни эмпирической, то она должна быть бессмыслен­ной, она — чистый вздор [5 Согласно Тюркетту (Turquette), положения Геделя не имеют смысла (1950), стр. 129. Тюркетт спорит с Копи (Copi), который считает, что, поскольку эти положения являются «априорными истинами», но не аналитическими, то они опровергают аналитиче­скую теорию априорности (1949) и (1950). Никто из них не заме­чает, что особый статус положений Геделя с этой точки зрения состоит в том, что эти теоремы являются теоремами неформаль­ной содержательной математики и что в действительности они оба обсуждают статус неформальной математики в частном случае. Они также не замечают, что теории неформальной математики оп­ределенно являются догадками, которые с точки зрения догматиста вряд ли возможно разделить на догадки a priori и a posteriori.]. Догматы логического позити­визма гибельны для истории и философии мате­матики.

Целью этих статей является подход к некоторым про­блемам методологии математики. Я употреб­ляю слово «методология» в смысле, близком к «эвристи­ке» [6 Polya (1945), в особенности стр. 102 и также (1954), (1962а); Bernays (1947), в особенности стр. 187.] Полья и Бернайса и к «логике открытия» или «ситуа­ционной логике» Поппера [7 Popper (1934), затем (1945), в особенности стр. 90 в четвер­том издании (1962, стр. 97), а также (1957), стр. 147 и сл.]. Недавняя экспроприация тер­мина «методология математики» для использования в ка­честве синонима «метаматематики» имеет несомненно формалистский привкус. Это показывает, что в формали­стской философии математики нет настоящего места для методологии как логики открытия [8 Это можно иллюстрировать работами Тарского (1930а) и (1930b). В первой статье Тарский пользуется термином «дедуктив­ные науки» явно как стенографическим выражением для «фор­мализованных дедуктивных наук». Он говорит: «Формализованные дедуктивные дисциплины составляют поле исследований метама­тематики примерно в том же смысле, как пространственные сущ­ности составляют поле исследований для геометрии». Этой разумной формулировке придается занятный империалистический уклон во второй статье. «Дедуктивные дисциплины составляют предмет (subjectmatter) методологии дедуктивных наук примерно в таком же смысле, в каком пространственные сущности составляют пред­мет геометрии, а животные — зоологии. Естественно, не все де­дуктивные дисциплины представляются в форме, подходящей для объектов научного исследования. Неподходящими будут, напри­мер, такие, которые не опираются на определенный логический базис, не имеют точных правил вывода (inference) и в которых теоремы формулируются в обычных двусмысленных и неточных терминах разговорного языка — одним словом, те, которые не фор­мализованы. Метаматематические исследования, таким образом, сводятся к рассмотрению лишь формализованных дедуктивных дисциплин». Нововведением является то, что в первой формулиров­ке устанавливается, что предметом метаматематики являются фор­мализованные дедуктивные дисциплины, в то время как вторая говорит, что предмет метаматематики сводится к формализован­ным дедуктивным дисциплинам только по той причине, что не­формализованные дедуктивные дисциплины вообще не являются подходящим предметом научного исследования. Это предполага­ет, что предыстория формализованной дисциплины не может быть предметом научного исследования, в то время как, наоборот, предыстория зоологического вида вполне может быть предметом научной теории эволюции. Никто не будет сомневаться, что к не­которым проблемам, касающимся математической теории, можно подойти только после того, как они будут формализованы, совер­шенно так же, как некоторые проблемы относительно человече­ских существ (например, касающиеся их анатомии) могут быть изучаемы только после их смерти. Но на этом основании не мно­гие будут утверждать, что человеческие существа будут «пригодны для научного исследования», только когда они «представляются в мертвом виде», и что, следовательно, биологические исследова­ния сводятся к изучению мертвых человеческих существ, хотя я не был бы изумлен, если бы какойнибудь энтузиаст — ученик Везалия в славные дни ранней анатомии, когда появились новые мощные методы диссекции, отождествил биологию с анализом мертвых тел.

В предисловии к работе (1941) Тарский подчеркивает свое отрицание возможности какойнибудь методологии, отличной от формальных систем: «Курс методологии эмпирических паук... должен главным образом состоять из оценок и критик скромных попыток и безуспешных усилий». Причина заключается в том, что, поскольку Тарский определяет научную теорию «как систему подобранных утверждений, расположенных в соответствии с не­которыми правилами» (там же), то эмпирические науки не явля­ются науками.]. Если верить формалистам, то математика будет тождественна формализован­ной математике. Но что можно открыть в формализо­ванной теории? Два ряда вещей. Вопервых, можно от­крыть решение задач, которые машина Тюринга при подхо­дящей программе может решить за конечное время (как, например, будет ли некоторое предложенное доказатель­ство действительно доказательством или нет?). Ни один математик не заинтересован в том, чтобы следить за этим скучным механическим «методом», предписываемым про­цедурами такого решения. Вовторых, можно найти ре­шения задач вроде: будет ли теоремой или нет некоторая формула теории, в которой не установлена возможность окончательного решения, где можно руководствоваться только «методом» неуправляемой интуиции и удачи.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 24 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.