WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 |

Арен Гейтинг

Интуиционистские взгляды на природу математики

· Введение

· Арифметика

· Континуум

· Теория множеств

· Логика

· Математика и язык

· Прикладная математика

· Bibliography

Введение

Один из вопросов, часто задаваемых философами, когда речь заходит о математике, следующий: откуда берется такая уверенность в математических теоремах? Как математика обретает свою очевидность, свою неоспоримую истинность? Ответ интуиционистов заключается в том, что основные понятия математики столь просты, даже тривиальны, что не возникает и тени сомнения в их свойствах. Интуиционизм не является философской системой, такой, как реализм, идеализм, экзистенциализм. Единственный философский тезис интуиционизма состоит в том, что для понимания математики не требуется никакой философии. Напротив, любая философия концептуально значительно сложнее, чем математика.

Логика, в обычном смысле этого слова, зависит от философских проблем. Одно из ее основных понятий — истинность суждения. Но что есть суждение? Совпадает ли оно с предложением, которым выражено, или же оно есть нечто, скрытое «за» предложением, некий смысл? Если так, в каком отношении находятся суждение и предложение? И что значит, что суждение истинно? Предполагает ли это понятие существование внешнего мира, в котором оно истинно? Если суждение то же, что и предложение, можно задать аналогичные вопросы. Я не собираюсь отвечать на них; они решаются сотней разнообразных способов, ни один из которых не является достаточно убедительным, и все они показывают, что логика сложна и, следовательно, не может служить основой математики. Я вернусь к отношению логики и математики позднее.

Мы ищем основания математики, которые были бы непосредственно данными и понятными сразу, без философских хитросплетений. И первое, что приходит на ум, есть процесс счета. Однако, счет устанавливает соответствие между материальными или нематериальными объектами и натуральными числами, так что его можно понять, лишь если даны и внешний мир (или, по крайней мере, некоторый вид объектов), и абстрактные числа. Он еще слишком сложен, чтобы служить базисом для математики. Анализ процесса счета приведет нас к более простым, непосредственным понятиям. Мы можем пересчитывать вещи любого рода, но все они имеют одно общее свойство — они могут быть изолированы. Изолировать объект, сфокусировать на нем наше внимание — фундаментальная функция разума. Без этого невозможно никакое мышление. Активность разума проявляется в том, что он изолирует объекты. Наше восприятие в данный момент времени дано не как собрание сущностей, но как целое, в котором мы изолируем сущности более или менее сознательным мысленным актом.

Кажется, что мы не сдвинулись с места, что мы все еще пересчитываем материальные объекты. Но в действительности, то, что мы мысленно изолируем, суть не объекты, но восприятия. Я могу зафиксировать свое внимание на определенном впечатлении, чаще всего зрительном. На практике, это впечатление немедленно связывается с бесчисленными воспоминаниями, впечатлениями и образами, формирующими представление о предмете в обычном смысле этого слова. Но для процесса счета несущественно, что именно изолируется, имеет значение лишь сам факт изолирования. Сущность, понятая человеческим разумом, есть отправной пункт любого вида мышления, особенно математического. Когда мы думаем, мы думаем сущностями. Это не означает, что вся наша умственная жизнь состоит из мышления сущностями. Напротив, чем более интенсивна наша жизнь, тем меньше мы думаем об изолированных сущностях. Под влиянием сильных эмоций мир представляется некой целостью, наполненной эмоциями. Только после того, как мы успокоим наши чувства, мы сможем наметить себе цели и пути их достижения.

Вместо «концентрации внимания на восприятии» я буду говорить «создание сущности», но необходимо понимать, что глагол «создавать» несет другой смысл, нежели в выражении «создание произведения искусства». Картина после своего создания существует во внешнем мире, но это не верно для умственно созданных сущностей.



Создание сущностей в сознании — это действие, которое человек производит в каждый момент времени, по крайней мере, когда бодрствует. Мы можем задать философские вопросы, связанные с этим, например: как возможно, что мы мыслим сущностями? Но мы делаем это, не отвечая на подобные вопросы, подобно тому, как мы понимаем чтолибо, не зная, как возможно понимание, живем, не зная, как возможно, что живые твари существуют. Несомненно, постижение сущности есть действие индивидуального разума. Пока я оставлю вопрос об объективности в стороне; он относится к философии. Простейший ответ — математика остается заключенной в одном сознании; позднее мы обсудим, как можно сообщать ее другим.

Арифметика В математике было бы мало пользы, если бы она остановилась после создания одной сущности; это действие можно повторить. Мы снова можем задать философские вопросы: как возможно, что сущность, которая была создана, сохраняет свою индивидуальность, и как возможно отличить ее от другой сущности? Но это снова рассуждение post factum: каждый может обнаружить, что он способен сконцентрировать внимание на одном восприятии, затем на другом, сохраняя первое в своей памяти. Это образует основу счета. Не имеет значения, что пересчитывается, но важен сам процесс счета, сама деятельность ума. Создавая сущность, другую, еще одну, и т.д., мы конструируем в уме натуральные числа. Ясно, что при построении, скажем, натурального числа 5 природа сущностей, образующих это число, абсолютно безразлична. Когда появились цифры, люди научились абстрагироваться от содержания изолированных восприятий и рассматривать их как чистые сущности. Мы построили каждое натуральное число отдельно. Пока мы не в состоянии делать высказывания о всяком натуральном числе. Обычно такие высказывания формулируются при помощи квантора общности: для каждого натурального числа выполняется. Но лучше сформулировать это так: пусть натуральное число, тогда выполняется. Или более явно: допустим, мы построили натуральное число, тогда мы можем доказать. Видно, что здесь содержится понятие гипотетического построения. Оно является фундаментальным в математике. Почти любую теорему можно привести к виду: допустим, что проведено построение, тогда мы можем также провести построение. Доказательство такой теоремы состоит в построении, которое, будучи соединено с построением, даст построение.

Позвольте мне привести пример. Я хочу доказать теорему: если произвольное натуральное число, то существует простое число, большее. Доказательство: вычислить ; разложить это число на множители; каждый из простых делителей будет больше. Представленное доказательство состоит в общем методе построения, применимом к гипотетическому построению.

До сих пор мы использовали понятия натурального числа, гипотетического построения натурального числа, общего метода построения, применяемого к гипотетической конструкции.

Этих понятий достаточно для арифметики. Рассмотрим отдельно принцип полной индукции:

Допустим, что мы доказали, и у нас есть общий метод, позволяющий для всякого натурального числа вывести доказательство из гипотетического доказательства. Пусть — произвольное натуральное число. Для того, чтобы доказать, мы строим число и на каждом шаге от к применяем, чтобы получить. Результатом будет доказательство.

Я хочу предостеречь от ошибочного представления, что нам требуется общий принцип полной индукции; все, что действительно нужно — это применение в каждом конкретном случае; и каждый раз оно очевидно.

Например, я хочу доказать, что. Это верно для.

Допустим, это доказано для (гипотетическое построение).

Пусть — произвольное натуральное число. Я могу доказать последовательно для. Последнее есть прямое применение определения к натуральному числу.

Можно обосновать, что никакие другие понятия, за исключением упомянутых, в арифметике не требуются. Арифметические суждения образуются из простейших отношений и посредством связок,,, и кванторов,. Доказательство состоит в одновременном построении и таким образом, что когда некоторая сущность добавляется к, то же самое делается и с. Аналогичное объяснение можно дать и для. Конечно, логические константы надо интерпретировать в терминах построений. Я вернусь к этому позднее; пока будет полезно сделать несколько замечаний. Интерпретация уже неявно упоминалась: доказательство состоит в общем методе, перестраивающем каждое доказательство в доказательство. Доказательство состоит в методе, который мог бы перевести предполагаемое доказательство в противоречие. Я склонен считать, что это определение необходимо принять за основу. Мы ясно понимаем невозможность, но это понятие не сводится к другим, которые я упоминал. Имеет смысл избегать использования отрицания, когда это возможно. Работа Бишопа показывает, что наиболее важные разделы анализа могут быть построены положительно ([1]).





Доказательство состоит в общем методе, переводящем построение натурального числа в доказательство.

Наконец, доказательство есть комбинация построения натурального числа и доказательства.

Единственное фундаментальное понятие, возникающее здесь, — понятие противоречия.

Континуум Довольно говорить об арифметике. Следующий шаг — введение действительных чисел, которые создают серьезные трудности для конструктивистов. Действительное число определяется посредством бесконечной последовательности натуральных чисел. Здесь бесконечность существенно важнее, чем в арифметике, в которой она возникает лишь в форме «за каждым натуральным числом следует еще одно».

В анализе мы делаем высказывания о каждом действительном числе, т. е., о каждой бесконечной последовательности натуральных чисел. Трудность в том, что у нас нет ясного представления о гипотетической последовательности; нет общего метода построения последовательностей, какой есть для построения натуральных чисел. Одно решение найдено в теории рекурсивных функций; рекурсивный анализ стал важной областью исследований. Но понятие рекурсивной функции появилось в 30х годах, тогда как работа Брауэра, касающаяся действительных чисел, происходила между 1907 и 1927. Более того, как хорошо известно, рекурсивные действительные числа не исчерпывают континуум; в отличие от последнего, множество рекурсивных действительных чисел перечислимо. Брауэр пытался найти конструктивное понятие, которое было бы насколько возможно близко к обычному понятию континуума. Он работал над этой проблемой всю жизнь. В своей диссертации 1907 г. он вводил континуум как первичное понятие. Человек имеет идею континуума (интуиция времени), в котором он может построить плотную, перечислимо бесконечную шкалу. Точка континуума определяется сходящейся последовательностью точек шкалы. Если мы ограничимся последовательностями, определяемыми некоторым законом (предопределенными последовательностями), то мы не получим все точки континуума. В неконструктивной математике такой трудности нет. Можно просто определить множество всех сходящихся последовательностей, независимо от того, задаются они какимлибо законом или нет. Но для конструктивиста индивидуально существуют лишь предопределенные последовательности. Брауэр нашел выход, введя понятие последовательности выбора. Сходящуюся последовательность рациональных чисел можно получить, выбирая ее члены один за другим:,,..., сходимость можно обеспечить, к примеру, налагая ограничение, чтобы для каждого. Мы имеем здесь пример потока. Поток определяется правилом, задающим ограничения на выборы.

С 1918 г. Брауэр более не считал континуум первичным понятием. Он смог обойтись без этого, так как определенный выше поток полностью представлял континуум, по крайней мере, его математические свойства.

Понятие потока не является проблематичным. Оно определяется ограничением на конечные последовательности. Но последовательность выбора — важное новое фундаментальное понятие, которое вызывает несколько вопросов. Первый вопрос, насколько свободными должны быть выборы? Была попытка определить последовательность выбора как беззаконную последовательность, в которой каждый выбор должен делаться абсолютно свободно. Однако, такие беззаконные последовательности имеют неприятные свойства; они — отшельники, не склонные к связям друг с другом ([5]).

Pages:     || 2 | 3 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.