WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |

Министерство образования Республики Беларусь

Государственное учреждение образования

“Республиканский институт высшей школы”

УТВЕРЖДАЮ

Первый заместитель Министра

образования Республики Беларусь

А.И. Жук

« 05 » 07 2006 г.

Регистрационный № ТД – G.102/тип. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Учебная программа для высших учебных заведений по специальностям 1 31 03 03 Прикладная математика (по направлениям), 1 31 03 04 Информатика, 1 31 03 05 Актуарная математика, 1 31 03 06 Экономическая кибернетика (по направлениям), 1 98 01 01 01 Компьютерная безопасность (математические методы и программные системы) СОГЛАСОВАНО Председатель Учебнометодического объединения вузов Республики Беларусь по естественнонаучному образованию _ В.В.Самохвал 2006 Начальник управления высшего и среднего специального образования Министерства образования Республики Беларусь Ю.И. Миксюк Первый проректор Государственного учреждения образования “Республиканский институт высшей школы” В.И. Дынич Эксперт С.М. Артемьева _ Минск Составители:

С.А. Мазаник, заведующий кафедрой высшей математики Белорусского государственного университета, доктор физ.матем. наук, профессор;

О.А. Кастрица, доцент кафедры высшей математики Белорусского государственного университета, кандидат физ.матем. наук, доцент Рецензенты:

Кафедра высшей математики Учреждения образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»;

Н.Т. Стельмашук, профессор кафедры математического анализа Учреждения образования «Белорусский государственный педагогический университет им. М.

Танка», кандидат физикоматематических наук, профессор Рекомендована к утверждению в качестве типовой:

Кафедрой высшей математики Белорусского государственного университета (протокол № 11 от 20 апреля 2006г.).

Научнометодическим советом Белорусского государственного университета (протокол № 4 от 11 июня 2006г.).

Научнометодическим советом по прикладной математике и информатике (протокол № 1 от 12 июня 2006г.).

Научнометодическим советом по специальности Компьютерная безопасность (протокол № 1 от 12 июня 2006г.).

Учебнометодическим объединением вузов Республики Беларусь по естественнонаучному образованию (протокол № 15 от 15 июня 2006г.).

Ответственный за редакцию: О.А. Кастрица Ответственный за выпуск: О.А. Кастрица Пояснительная записка Дисциплина «Математический анализ» знакомит студентов со способами исследования функциональных зависимостей между переменными величинами. Изучаемые методы базируются на использовании предельного перехода, дифференциального и интегрального исчисления.

Основой для изучения математического анализа является курс математики, изучаемый в средней школе.

«Математический анализ» непосредственно связан с параллельно изучаемой дисциплиной “Геометрия и алгебра”, и является базовым курсом для изучения предметов аналитического цикла, предусмотренных учебным планом специальности.

Методы, излагаемые в курсе математического анализа, используются при изучении дисциплин «Дифференциальные уравнения», «Вычислительные методы алгебры», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Функциональный анализ и интегральные уравнения», «Методы численного анализа», «Методы оптимизации», «Уравнения в частных производных», а также при изучении ряда дисциплин специализации.

Изучение математического анализа преследует две основные цели: вопервых, дать студентам базу, необходимую для усвоения материала перечисленных выше учебных дисциплин, и, вовторых, сформировать составную часть банка знаний, получаемых будущими специалистами в процессе учебы и необходимых им в дальнейшем для успешной работы.

При изложении курса важно показать возможности использования аппарата анализа при решении прикладных задач, возникающих в различных областях науки, техники, экономики и др. Целесообразно выделить моменты построения математических моделей естественных процессов с целью их последующего изучения методами математического анализа, а также обратить внимание на алгоритмические аспекты получаемых результатов.

В соответствии со стандартом специальности учебная программа предусматривает для изучения дисциплины 525 аудиторных часов, в том числе лекционных 272 ч., практических 215 ч. и 38 ч. контролируемой самостоятельной работы.



Содержание Введение Предмет математического анализа. Историческое развитие математического анализа, его место среди других математических наук и в естествознании.

Функции одной действительной переменной Действительные числа. Числовые множества. Отображения. Счетные и несчетные множества. Границы числовых множеств.

Числовые последовательности. Сходящиеся последовательности, их свойства.

Сходимость монотонных последовательностей. Принцип выбора БольцаноВейерштрасса. Число “e”. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости числовой последовательности. Понятие о числовых рядах.

Функция одной переменной. Предел функции в точке. Критерий Гейне. Критерий Коши существования конечного предела функции. Односторонние пределы. Бесконечные пределы и пределы на бесконечности.

Непрерывность функции в точке. Односторонняя непрерывность. Классификация точек разрыва. Непрерывность монотонной функции. Непрерывность обратной функции и композиции функций. Непрерывность элементарных функций. Замечательные пределы.

Сравнение функций. Осимволика. Локальные свойства непрерывных функций.

Функции, непрерывные на множестве. Достижение непрерывной на отрезке функцией своих экстремальных значений (теорема Вейерштрасса). Равномерная непрерывность функций. Теорема Кантора.

Дифференцируемость функции в точке. Производная. Геометрический и механический смысл производной. Правила дифференцирования. Производная обратной функции.

Производная композиции функций. Производные основных элементарных функций.

Дифференциал функции. Инвариантность формы первого дифференциала.

Использование производной и дифференциала в приближенных вычислениях.

Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически.

Стационарные точки функции. Теоремы Ферма, Ролля. Формула конечных приращений (теорема Лагранжа). Теорема Коши. Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей.

Формула Тейлора. Различные способы представления остаточного члена. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора. Ряд Тейлора. Формулы Эйлера.

Монотонные дифференцируемые функции. Экстремумы. Необходимое условие экстремума. Исследование критических точек. Глобальный экстремум. Выпуклость функций. Асимптоты. Построение эскиза графика функций.

Понятие об итерационных алгоритмах приближенного вычисления корней уравнений. Первообразная. Неопределенный интеграл. Первообразные основных элементарных функций. Замена переменных в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям. Неберущиеся интегралы. Существование элементарных первообразных у рациональных функций. Методы рационализации.

Определенный интеграл Римана. Критерий Коши интегрируемости функции.

Интегрируемость непрерывной функции. Интегральное колебание. Необходимые и достаточные условия Дарбу интегрируемости в смысле Римана. Основные свойства определенного интеграла. Классы интегрируемых функций. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема Барроу. Формула НьютонаЛейбница. Основные приемы вычисления определенного интеграла.

Понятие о других способах построения интеграла.

Длина дуги, площадь фигуры, объем тела, использование интегралов для их вычисления. Приложения интегралов в механике, физике, экономике и др.

Алгоритмы численного интегрирования. Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона.

Функции нескольких действительных переменных Пространство Rn. Сходящиеся последовательности в Rn. Принцип выбора. Критерий Коши сходимости последовательности в Rn.

Функции нескольких переменных. Предел. Повторные пределы. Непрерывность.

Непрерывность по одной из переменных. Локальные свойства непрерывных функций.

Непрерывность на множестве. Равномерная непрерывность.

Дифференцируемость в точке функции нескольких переменных. Частные производные.

Условия дифференцируемости. Дифференциал. Дифференцирование композиции функций нескольких переменных. Инвариантность формы первого дифференциала.

Производные и дифференциалы высших порядков. Условия равенства смешанных производных. Оператор дифференцирования. Формула Тейлора.





Теорема о неявной функции.

Векторные функции п переменных. Непрерывность. Дифференцируемость. Производное отображение. Матрица Якоби. Дифференциал. Дифференцирование композиции. Теорема о неявной векторной функции. Зависимость функций. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия. Исследование стационарных точек. Условный экстремум. Функция Лагранжа. Глобальный экстремум.

Интеграл Римана функции нескольких переменных. Критерии Коши и Дарбу интегрируемости. Основные свойства интеграла. Классы интегрируемых функций.

Замена переменных в кратных интегралах. Использование полярных, цилиндрических и сферических координат при вычислении интегралов.

Использование кратных интегралов при решении геометрических, физических и других прикладных задач.

Кривые на плоскости и в пространстве. Векторное задание кривой. Трехгранник Френе. Кривизна и кручение.

Криволинейные интегралы первого и второго рода. Формула Грина. Условия Эйлера.

Использование формулы НьютонаЛейбница для вычисления криволинейных интегралов.

Поверхности. Векторное задание поверхности. Первая квадратичная форма поверхности. Касательная плоскость и нормаль. Односторонние и двухсторонние поверхности. Понятие многообразия.

Поверхностные интегралы первого и второго рода. Формула Стокса. Формула Остроградского.

Использование криволинейных и поверхностных интегралов при решении прикладных задач.

Интегралы, зависящие от параметра Функции, определяемые как интегралы, зависящие от параметра. Предельный переход. Непрерывность. Дифференцируемость. Правило Лейбница. Интегрирование.

Несобственные интегралы первого и второго рода. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов первого и второго рода. Несобственные интегралы от положительных функций. Признаки сравнения. Степенной признак сходимости несобственных интегралов. Абсолютная сходимость. Признаки Дирихле и Абеля.

Главное значение несобственного интеграла.

Функции, определяемые как несобственные интегралы, зависящие от параметра.

Предельный переход. Дифференцирование. Интегрирование.

Эйлеровы интегралы первого и второго рода. Их основные свойства.

Функциональные последовательности и ряды Числовые ряды. Критерий Коши сходимости ряда. Положительные ряды. Сравнение положительных рядов. Признаки сходимости (Коши, Даламбера, интегральный, Гаусса и др.). Знакопеременные ряды. Признаки Лейбница, Дирихле и Абеля. Абсолютная сходимость. Действия над рядами. Двойные и повторные ряды.

Понятие о других способах суммирования рядов.

Сходимость функциональных последовательностей. Равномерная сходимость. Критерии равномерной сходимости.

Функциональные ряды. Признаки Вейерштрасса, Дирихле и Абеля равномерной сходимости функциональных рядов.

Функции, определяемые как суммы рядов. Предельный переход. Непрерывность.

Почленное дифференцирование и интегрирование рядов.

Степенные ряды. Теорема Абеля. Множество сходимости степенного ряда. Радиус сходимости. Свойства суммы степенного ряда. Представление функций степенными рядами. Ряд Тейлора.

Основные степенные разложения и их приложения к приближенным вычислениям.

Скалярное произведение функций. Ортогональные системы функций.

Последовательности тригонометрических многочленов. Ряд Фурье. Неравенство Бесселя. Ряд Фурье четной и нечетной функции.

Принцип локализации. Теорема РиманаЛебега. Сходимость ряда Фурье в точке.

Равномерная сходимость ряда Фурье. Сходимость в среднем. Равенство Парсеваля.

Полнота и замкнутость тригонометрической системы.

Обобщенное равенство Парсеваля. Почленное интегрирование и дифференцирование рядов Фурье.

Разложение функций в ряды Фурье. Теорема Вейерштрасса об аппроксимации непрерывной функции многочленами.

Интеграл Фурье. Преобразование Фурье.

Функции комплексного аргумента Комплексные числа. Последовательности комплексных чисел.

Функции комплексного аргумента. Дробнолинейная функция. Показательная функция.

Экспонента и логарифмическая функция. Тригонометрические и гиперболические функции.

Дифференцируемость функции комплексного аргумента. Условия КошиРимана.

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.