WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 9 |

http://www.synergetic.ru/sections/index.php?article=books/fractal/index.htm

Х.О. Пайтген, П.Х. Рихтер

Красота фракталов.

Образы комплексных динамических систем.

Москва 1993 Издательство «Мир» Содержание Предисловие редактора перевода Предисловие к русскому изданию Предисловие Часть 1. Границы хаоса Специальные разделы 1. Динамика Ферхюльста 2. Множества Жюлиа и их компьютерное построение 3. Классификация критических точек Салливана 4. Множества Мандельброта 5. Внешние углы и деревья Хаббарда 6. Тан Лей. Замечания о подобии между множествами Мандельброта и множествами Жюлиа 7. Метод Ньютона для комплексных полиномов: проблема Кэли 8. Метод Ньютона для действительных уравнений 9. Дискретные системы ВольтерраЛотки Часть 2. Магнетизм и комплексные границы Специальные разделы 10. Нули ЯнгаЛи 11. Перенормировка Литература Часть 3. Статьи приглашенных авторов  Б.Б. Мандельброт. Фракталы и возрождение теории итераций  А. Дуали. Множества Жюлиа и множества Мандельброта  Г. Айленбергер. Свобода, наука и эстетика  Г. Франке. Преломление науки в искусстве Сделайте это сами Приложение Х.О. Пайтген, П.Х. Рихтер Красота фракталов.

Образы комплексных динамических систем.

Москва Издательство «Мир» Часть 1.

Границы хаоса Там, где окружающий нас мир перестает быть ареной личных надежд и желаний, где мы как свободные существа, сомневаясь и размышляя, созерцаем его в изумлении, там мы вступаем в царство искусства и науки. Если мы описываем увиденное и известное по опыту на языке логики — это наука; если же представляем в формах, внутренние взаимосвязи которых недоступны нашему сознанию, но которые интуитивно воспринимаются как осмысленные, — это искусство. И для искусства, и для науки общим является увлечение чемто стоящим выше личного, свободным от условного.

А. Эйнштейн Наука и искусство — два дополняющих друг друга способа познания природы, аналитический и интуитивный. Мы привыкли считать их противоположными полюсами, но не зависят ли они друг от друга? Мыслитель, пытающийся постичь в своем сознании явления природы, стараясь свести всю их сложность к небольшому числу фундаментальных законов — не является ли он также мечтателем, погружающимся в богатство форм и воспринимающим себя частью извечного хоровода природных явлений? Это ощущение общности, которое может испытать каждый из нас, не находит отражения в истории культуры последних двух столетий. Как будто чувствуя себя слишком стесненными рамками единой души, дух искусства и дух науки разделились. Единый Фауст стал двумя одномерными сущностями. Это разделение кажется необратимым, и сегодня уже не принимается во внимание то, что обе части вместе способствовали развитию в эпоху просвещения. Смелость в использовании своих собственных аргументов превратилась в самонадеянность. Холодный рационализм науки и технологии широко распространился и трансформировал мир до такой степени, что само существование человека оказалось под угрозой. Искусство перед этим оказалось, к сожалению, беспомощным.

Безусловно, эта напряженность оказывает воздействие и на естествознание. Многие крупные мыслители в конце концов осознавали неадекватность укоренившегося способа мышления. Несмотря на грандиозные успехи физики элементарных частиц или анализа гомологических рядов в молекулярной генетике, кредо “фундаменталистов” уже утратило свою исключительную привлекательность. Теперь уже недостаточно открыть основные законы и понять, как работает мир “в принципе”. Все более и более важным становится выяснение того, каким способом эти принципы проявляют себя в реальности. Самые точные фундаментальные законы действуют в реально существующем мире. Любой нелинейный процесс приводит к ветвлению, к развилке на пути, в которой система может выбрать ту или иную ветвь. Мы имеем дело с выбором решений, последствия которых предсказать невозможно, поскольку для каждого из этих решений характерно усиление.

Самые незначительные неточности раздуваются и имеют далеко идущие последствия. В каждый отдельный момент причинная связь сохраняется, но после нескольких ветвлений она уже не видна. Рано или поздно начальная информация о состоянии системы становится бесполезной. В ходе эволюции любого процесса информация генерируется и запоминается. Законы природы допускают для событий множество различных исходов, но наш мир имеет однуединственную историю.



Рис.1. Типичная траектория решения задачи трех тел в небесной механике. Вверху показано начало, а внизу дальнейшая эволюция хаотического движения малой планеты вокруг двух светил с равной массой. Справа аттрактор Лоренца: хаотическое движение в диссипативной системе. В отличие от движения планет, это движение направляется к аттрактору силой трения. Но «странные аттракторы» допускают существование сложных движений, прыжки вперед и назад между двумя центрами.

Даже в астрономии, старейшей из естественных наук, следует пересмотреть прежние представления. Когда Кеплер и Ньютон, а затем более точно Эйнштейн, объяснили раз и навсегда то, как отдельные планеты движутся вокруг солнца по своим эллиптическим орбитам, создалось впечатление, что для полного описания движения системы трех или более тел требуется просто увеличить интенсивность вычислений. Верно, что наши космические корабли могут полагаться на ньютоновы законы движения и что современные компьютеры направляют их к нужным целям, но остается верным и то, что по истечении достаточно большого периода времени траектории их движения становятся непредсказуемыми. До сих пор не получен ответ на старый вопрос об устойчивости солнечной системы. На рубеже XVIII— XIX в. считалось, что она должна быть устойчивой. В начале XX в. — после Пуанкаре — имелись основания предполагать обратное. Сегодня мы уже допускаем, что долгосрочный прогноз поведения солнечной системы (даже если ограничиться только гравитационным взаимодействием) невозможен: как говорят специалисты, уравнения являются “неинтегрируемыми”. Любая самая малая неточность в начальных условиях может позже очень сильно повлиять на последующее движение. Та сложность, которая заключается, казалось бы, в простых уравнениях (рис. 1), привела в замешательство и специалистов, и неспециалистов.

Аналогичные проблемы возникают почти во всех других дисциплинах. Одна из причин того, почему мы до сих пор не можем управлять термоядерной реакцией, заключается в том, что мы не имеем адекватного представления о хаотическом движении заряженной частицы в системе магнитных зеркал. Изучение развития яиц насекомых показывает, что и морфогенез невозможно понять, опираясь только на знание соответствующего генома и его молекулярного строения. Феноменология имеет свои собственные законы. На каждой новой ступени организации вступают в силу новые правила.

Все это не означает, что известные до сих пор законы природы неверны; это лишь означает, что трудно обнаружить все скрытое в них. Эти трудности являются общими и для небесной механики, и для физики элементарных частиц, для биологии развития и экономики. Это хорошо известно нам из повседневной жизни, но это требует совершенно новых взглядов в науке. Фундаментальные науки, смотрящие сверху вниз, должны перевести свой взгляд вверх, от основ к явлениям. Для этого требуются новые концепции, модели, которые показывали бы суть имеющихся проблем и прокладывали бы новые пути нашему мышлению. “Моделей мира”, которые превращаются в сотни уравнений при обсуждении конкретных вопросов, совершенно недостаточно. Они лишь затемняют те проблемы, которые им следовало бы осветить. Зьание добывается в борьбе ради того, чтобы отыскать существенное и представить его “в двух словах”.

Мышление в образах Как это можно было бы осуществить, если бы диагноз Фауста оказался правильным?... Но у природы крепкие затворы.

То что она желает скрыть в тени таинственного своего покрова, Не выманить винтами шестерни, Ни силами орудья никакого.1)... но, может быть, это возможно сделать с помощью дьявола? 1) И.В.Гете. "Фауст", перевод Б.Л. Пастернака. прим.ред.

Многие, и ученые в не меньшей степени, чем люди искусства и обеспокоенные родители, воспринимают компьютер как дьявольский инструмент. Некоторые с первого же взгляда на машину становятся ее рабами. Должна же быть на это какаято причина.





В самом деле, это новое средство познания позволяет увидеть связи и значения, которые до сих пор были скрыты от нас. Главным образом это относится к компьютерной графике, переживающей сегодня период интенсивного развития и обогатившей наши возможности в такой степени, которая редко достигалась другими средствами науки. Она, несомненно, может подарить нам фантастические миры, окружить нас искусственными пейзажами и заставить забыть действительность. Но если использовать ее не бездумно, то она может нам помочь приподнять покров над тайнами природы.

Там, где предыдущие поколения ученых были вынуждены существенным образом упрощать свои уравнения или вообще отказываться от них, мы можем увидеть их суть на экране дисплея. Естественные процессы, представленные графически, можно постичь во всей их сложности, опираясь на нашу интуицию. При этом стимулируются новые идеи, новые ассоциации и у каждого, кто мыслит в образах, пробуждается творческий потенциал.

Математики, и особенно физики, всегда мыслили образами; даже более того, они использовали эстетические категории в качестве критерия, если не истины, то по крайней мере завершенности. Герман Вейль, один из наиболее выдающихся немецких математиков, 100летие со дня рождения которого отмечалось в 1985 году, откровенно признавался:

“В своей работе я всегда пытался объединить истину с красотой, а когда мне приходилось выбирать между ними, я обычно выбирал красоту”.

В подобных высказываниях содержится глубокая вера в единство науки и искусства. В отзывах на наши картины довольно часто выражалась надежда на то, что это единство станет более наглядным, не похожим на ту далеко упрятанную красоту, которая доступна лишь небольшому числу посвященных, как, например, в случае теории гравитации Эйнштейна. Является ли это упрощением? Возможно. Но не в первый раз ремесло служит духу.

Преобразование уже началось. Границы между традиционными дисциплинами утрачивают отчетливость. Уже возникли центры по изучению “сложной динамики”, “нелинейных явлений” и других подобных вещей, предусмотрительно не уточняющие, какие явления — физики, химии, биологии или совершенно других областей — они рассматривают. На семинарах в этих центрах изучаются как метаморфозы растений и животных, так и проблемы физики плазмы, психологии восприятия или социального поведения. Растет уверенность в том, что процессы образования структур и самоорганизация развиваются в соответствии с небольшим числом сценариев, не зависящих от конкретной системы. В ФРГ, например, Герман Хакен из Штутгартского университета с конца 60х годов направлял свою деятельность на создание “синергетики”. Являясь одним из основателей теории лазеров, он обнаружил, что образование внутренних структур в лазере происходит в соответствии с законами, очень напоминающими конкуренцию молекулярных видов, которую описал Манфред Эйген (Институт Макса Планка в Геттингене) в своих исследованиях ранней эволюции жизни. Синергетика целенаправленно пытается отыскивать правила, по которым возникает порядок в сложных системах.

Наши рисунки относятся к этому направлению. Они касаются хаоса и порядка, их конкуренции или сосуществования. Они показывают переход от одного к другому и то, какой изумительно сложной является область перехода вообще. И восхищение, вызываемое красотой изображенных на картинах областей, не может отвлечь нас от центрального вопроса о том, как структура границ зависит от параметров. Это приводит нас к границам другого уровня и открывает закономерности, о существовании которых несколько лет назад никто и не подозревал.

Рассматриваемые здесь процессы возникают в различных физических и математических задачах. Все они имеют одно общее — это конкуренцию нескольких центров за доминирование на плоскости. Простые границы между территориями в результате такого соперничества возникают редко. Чаще имеет место нескончаемое филигранное переплетение и непрекращающаяся борьба даже за самые малые участки.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 9 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.