WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |

http://www.hypercomplex.ru/works.pavlov.part2.html

ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И СВЯЗАННЫЕ С НИМИ ПРОСТРАНСТВА

Павлов Д.Г.

1. Введение 2. Гиперкомплексные числа 3. Квадрагиперболические числа 4. Билинейные пространства 5. Полилинейные пространства 6. Квадрагиперболическое пространство 7. Заключение 2. ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Исторически первой успешной попыткой обобщения понятия комплексного числа считается открытие в 1843 г. Уильямом Гамильтоном кватернионов упорядоченных четверок действительных чисел, обладающих некоммутативным умножением. Кватернионы сыграли выдающуюся роль в алгебре и геометрии, однако, по мере развития векторного анализа были оттеснены на второй план и сегодня применяются сравнительно редко. Вслед за кватернионами были открыты октавы Кэли, в умножении которых отсутствует и ассоциативность.

Практическое применение октав всегда было незначительным. Изучение других гиперкомплексных чисел вообще считается бесперспективным, особенно с тех пор, как в конце девятнадцатого века Фробениусом была доказана теорема [1], согласно которой система комплексных чисел является единственным расширением понятия действительного числа, сохраняющего его основные алгебраические свойства, к которым относится и отсутствие делителей нуля. Вторая, так называемая обобщенная теорема Фробениуса, допуская некоммутативность и неассоциативность умножения, расширяет количество алгебр, не имеющих делителей нуля, до изоморфных кватернионам и октавам. Между тем, снятие требования об отсутствии делителей нуля позволяет строить гиперкомплексные системы с коммутативным и ассоциативным умножением без ограничений в размерности. Исследование именно таких алгебр представляется достаточно интересной самостоятельной задачей.

Простейшими коммутативноассоциативными числовыми системами (для краткости условимся называть их поличислами, или полисистемами), содержащими делители нуля, являются двойные и дуальные числа. Их алгебры получаются путем применения к действительным числам процедуры удвоения Диксона Кэли с мнимой гиперболической или параболической единицей. Квадраты этих единиц, в отличие от квадрата классической эллиптической единицы, равны не 1, а +1 и 0 соответственно. Известно, что свойства таких чисел существенно беднее комплексных, чем, отчасти, и объясняется пренебрежение математиков не только двойными и дуальными, но и всеми аналогично построенными числами больших размерностей. При этом както остается без внимания, что при всей своей кажущейся тривиальности подобные алгебры все же являются более общими, чем одномерная алгебра действительных чисел. Кроме того, алгебраические свойства таких полисистем довольно легко расширить, если строить их не над полем действительных, а над полем комплексных чисел.

Если в алгебре конкретных поличисел можно указать базис, в котором помимо действительной единицы остальные базисные элементы таковы, что их квадраты представляют собой +1, 0, или 1, такие поличисла будем называть квадратными. Квадратные поличисла будем подразделять на: гиперболические, эллиптические, параболические и смешанные в зависимости от набора типов базисных единиц. В гиперболических числах квадраты всех базисных единиц равны +1, в эллиптических дополнительно присутствует хотя бы одна единица, квадрат которой равен 1, а в параболических хотя бы одна, квадрат которой равен нулю. В смешанных поличислах присутствуют базисные единицы всех трех типов. Соответствующие поличисла условимся обозначать,, и, где индекс равен размерности алгебры. Заметим, что обычные действительные, комплексные, двойные и дуальные числа являются частными случаями квадратных поличисел, поэтому в принятых обозначениях их символы должны записываться в виде,, и. Одной из причин невостребованности квадратных и других поличисел более высоких размерностей является отсутствие их простой и естественной геометрической интерпретации, наподобие той, какую имеют действительные, комплексные и двойные числа при сопоставлении им точек действительной прямой или евклидовой и псевдоевклидовой плоскостей соответственно. Естественно, что и произвольным поличислам также должны соответствовать точки какихто nмерных пространств. Однако, как хорошо известно, в случае n>2, ни евклидово, ни псевдоевклидово пространства не подходят на эту роль. Впрочем, это не означает отсутствия иной геометрической интерпретации, для выявления которой попытаемся подробно рассмотреть основные свойства одной из гиперболических алгебр.



В качестве таковой возьмем алгебру чисел, которые будем называть квадрагиперболическими. Этот выбор обусловлен простой взаимосвязью единиц и сопряженных данной алгебры, а так же желанием иметь максимально корректную возможность сравнения геометрических особенностей пространства, соответствующего гиперболическим поличислам, с пространством специальной теории относительности, которое четырехмерно.

2. ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Исторически первой успешной попыткой обобщения понятия комплексного числа считается открытие в 1843 г. Уильямом Гамильтоном кватернионов упорядоченных четверок действительных чисел, обладающих некоммутативным умножением. Кватернионы сыграли выдающуюся роль в алгебре и геометрии, однако, по мере развития векторного анализа были оттеснены на второй план и сегодня применяются сравнительно редко. Вслед за кватернионами были открыты октавы Кэли, в умножении которых отсутствует и ассоциативность.

Практическое применение октав всегда было незначительным. Изучение других гиперкомплексных чисел вообще считается бесперспективным, особенно с тех пор, как в конце девятнадцатого века Фробениусом была доказана теорема [1], согласно которой система комплексных чисел является единственным расширением понятия действительного числа, сохраняющего его основные алгебраические свойства, к которым относится и отсутствие делителей нуля. Вторая, так называемая обобщенная теорема Фробениуса, допуская некоммутативность и неассоциативность умножения, расширяет количество алгебр, не имеющих делителей нуля, до изоморфных кватернионам и октавам. Между тем, снятие требования об отсутствии делителей нуля позволяет строить гиперкомплексные системы с коммутативным и ассоциативным умножением без ограничений в размерности. Исследование именно таких алгебр представляется достаточно интересной самостоятельной задачей.

Простейшими коммутативноассоциативными числовыми системами (для краткости условимся называть их поличислами, или полисистемами), содержащими делители нуля, являются двойные и дуальные числа. Их алгебры получаются путем применения к действительным числам процедуры удвоения Диксона Кэли с мнимой гиперболической или параболической единицей. Квадраты этих единиц, в отличие от квадрата классической эллиптической единицы, равны не 1, а +1 и 0 соответственно. Известно, что свойства таких чисел существенно беднее комплексных, чем, отчасти, и объясняется пренебрежение математиков не только двойными и дуальными, но и всеми аналогично построенными числами больших размерностей. При этом както остается без внимания, что при всей своей кажущейся тривиальности подобные алгебры все же являются более общими, чем одномерная алгебра действительных чисел. Кроме того, алгебраические свойства таких полисистем довольно легко расширить, если строить их не над полем действительных, а над полем комплексных чисел.

Если в алгебре конкретных поличисел можно указать базис, в котором помимо действительной единицы остальные базисные элементы таковы, что их квадраты представляют собой +1, 0, или 1, такие поличисла будем называть квадратными. Квадратные поличисла будем подразделять на: гиперболические, эллиптические, параболические и смешанные в зависимости от набора типов базисных единиц. В гиперболических числах квадраты всех базисных единиц равны +1, в эллиптических дополнительно присутствует хотя бы одна единица, квадрат которой равен 1, а в параболических хотя бы одна, квадрат которой равен нулю. В смешанных поличислах присутствуют базисные единицы всех трех типов. Соответствующие поличисла условимся обозначать,, и, где индекс равен размерности алгебры. Заметим, что обычные действительные, комплексные, двойные и дуальные числа являются частными случаями квадратных поличисел, поэтому в принятых обозначениях их символы должны записываться в виде,, и. Одной из причин невостребованности квадратных и других поличисел более высоких размерностей является отсутствие их простой и естественной геометрической интерпретации, наподобие той, какую имеют действительные, комплексные и двойные числа при сопоставлении им точек действительной прямой или евклидовой и псевдоевклидовой плоскостей соответственно. Естественно, что и произвольным поличислам также должны соответствовать точки какихто nмерных пространств. Однако, как хорошо известно, в случае n>2, ни евклидово, ни псевдоевклидово пространства не подходят на эту роль. Впрочем, это не означает отсутствия иной геометрической интерпретации, для выявления которой попытаемся подробно рассмотреть основные свойства одной из гиперболических алгебр.





В качестве таковой возьмем алгебру чисел, которые будем называть квадрагиперболическими. Этот выбор обусловлен простой взаимосвязью единиц и сопряженных данной алгебры, а так же желанием иметь максимально корректную возможность сравнения геометрических особенностей пространства, соответствующего гиперболическим поличислам, с пространством специальной теории относительности, которое четырехмерно.

3. КВАДРАГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ЧИСЛА Алгебру квадрагиперболических чисел можно получить, добавив к аксиомам действительных чисел аксиомы сложения и умножения объектов вида и, где и – действительные числа, называемые компонентами, а базисные единицы. Принимая по определению, что суммой чисел и называется число:

а их произведением другое число того же класса:

, получаем алгебру коммутативноассоциативных гиперкомплексных чисел, в которой таблица умножения базисных единиц имеет вид:

Из этой таблицы, в частности, следует, что и позволяет соответствующие ей гиперкомплексные числа классифицировать как гиперболические.

Алгебру квадрагиперболических чисел можно получить и другим путем, применяя дважды операцию удвоения ДиксонаКэли к алгебре действительных чисел с использованием двух гиперболически мнимых единиц и. Тогда, обозначая произведение на как самостоятельный объект, произвольное число из можно представить в виде линейной комбинации:

, где символ действительной единицы 1, как это принято в комплексных числах, опущен. Примем по определению, что для мерных квадратных полисистем чисел называются взаимно сопряженными, если симметрические многочлены:

……..

действительны. Последний многочлен назовем полиформой числа A1.

Отметим, что так введенное понятие взаимной сопряженности совпадает с определением сопряженных в случае комплексных, двойных и дуальных чисел, но не соответствует аналогичному понятию для кватернионов и октав, которые, впрочем, поличислами и не являются, так как их умножение некоммутативно.

В случае, если размерность квадратного поличисла удовлетворяет условию:, где – целое, связь взаимно сопряженных выражается наиболее просто. Так, если число из, то в базисе четверка взаимно сопряженных принимает вид:

Действительно, непосредственной подстановкой убеждаемся, что и, наконец, (1) Последнюю форму, получившую ранее название полиформы числа, можно использовать для введения понятия модуля квадрагиперболического числа, принимая по определению под этим термином положительное значение корня четвертой степени из ее абсолютного значения:

Так введенный модуль квадрагиперболического числа обладает основными свойствами модуля:

где – действительное, а и – гиперкомплексные числа.

Свойство взаимно сопряженных в произведении давать действительное число позволяет ввести операцию деления, понимаемую как действие, обратное умножению. Так числом, обратным к, является число:

Обратные существуют только у чисел, полиформа которых отлична от нуля.

Числа, не равные нулю, но полиформа которых равна нулю, являются делителями нуля. Среди множества делителей нуля алгебры, особенно простыми алгебраическими свойствами, выделяются четыре, связанные с единицами соотношениями:

Эти делители нуля замечательны тем, что их таблица умножения выглядит наиболее просто:

Делители нуля с подобными свойствами будем называть абсолютными, а состоящий из них базис абсолютным. Обратная связь единиц с абсолютными делителями нуля алгебры выражается соотношениями:

Числа из, записанные в абсолютном базисе, легко не только складывать, но и умножать и делить. Так, произведение двух чисел и имеет вид:

а их частное:

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.